I frattali: la geometria dietro la natura e nell’arte

Cos’hanno in comune un fiocco di neve, la foglia di una felce e il nostro sistema circolatorio? Apparentemente nulla, ma non è così. In un abete immediatamente si può notare come le foglie riproducano i rametti su cui si trovano e come così facciano i rametti stessi coi rami. Ogni sua componente è riprodotta in scala ridotta dalle sue diramazioni. Il frattale è l’oggetto geometrico che descrive questo andamento. La natura, che non è rappresentabile solo tramite semplici schemi geometrici come sfere, coni e rette, spesso usa lo schema frattale. Facciamo altri esempi? La struttura interna dei alcune conchiglie, l’andamento delle diramazioni del nostro sistema respiratorio e l’infiorescenza del broccolo romanesco.

Cos’è un frattale? 

Il termine fu coniato nel 1975 dal matematico polacco: Benoît Mandelbrot. Il nome frattale deriva dal latino fractus e significa rotto, spezzato e descriveva i comportamenti matematici all’apparenza caotici. In geometria un frattale è un oggetto geometrico in cui un motivo si ripete in ogni direzione in modo che non cambi la propria struttura anche dopo svariati ingrandimenti. Dunque è dotato di ciò che si definisce omotetia interna: ripetendosi nella sua forma nello stesso modo su scale diverse è possibile, ingrandendo una qualunque sua parte, ottenere una figura del tutto simile all’originale.

Esistono tre diverse famiglie di frattali: lineari, non lineari e aleatori. I lineari sono i più semplici e la differenza tra le famiglie si trova nel numero di termini presenti nelle loro equazioni generatrici.

Grazie ai frattali è possibile ottenere strane rappresentazioni ramificate, tentacolari, frastagliate, con protuberanze e intricate molto simili alle forme naturali. Con essi si sono potuti descrivere in maniera molto più precisa fenomeni naturali complessi come i moti browniani delle piccole particelle nei fluidi o l’andamento delle galassie.

L’arte frattale

Le figure frattali per la loro bellezza e complessità hanno portato alla nascita di quella che oggi è definita arte frattale. Partendo dal calcolo di una  funzione matematica frattale, tramite un computer, si trasformano i risultati in immagini, musica e altre forme d’arte.

Nel campo artistico abbiamo frattali per cui l’appartenenza di un punto a un insieme frattale può essere stabilita tramite l’applicazione iterativa di una funzione semplice, come per il caso dell’insieme di Mandelbrot.

Altri frattali sono creati con sistemi di funzioni che vengono iterate come nel caso delle fiamme frattali. Per altri si usa la regola di sostituzione geometrica, tra questi troviamo il triangolo di Sierpinski e la curva di Koch nota anche come fiocco di neve di Koch. Infine ci sono i frattali generati da processi aleatori al posto di usare quelli deterministici.

Partendo da dettagli bidimensionali i frattali stanno trovando larga applicazione artistica anche in campi quali la produzione di tessuti  la generazione di paesaggi.

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